贝叶斯定理

贝叶斯定理（Bayes’ theorem）用于描述在一些已知条件下，某件事的发生概率。贝叶斯公式的一个用途，即透过已知的三个概率而推算出第四个概率。

\[P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}\]

P(A|B) 的含义为 B 发生时 A 发生的概率，其中 A, B 为随机事件，且 P(B) 不为零。

1. P(A|B) - B 发生时 A 发生的概率，也叫做 A 的 后验概率。
2. P(A) - A 的 先验概率，即不考虑 B 的因素，A 这个独立事件的发生概率。
3. P(B|A) - A 发生时 B 发生的概率，也叫做 B 的 后验概率 或 A 的 似然性（likelihood）。
4. P(B) - B 的 先验概率，即不考虑 A 的因素，B 这个独立事件的发生概率。

贝叶斯公式通常也写作：

\[P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(A^{C})P(B|A^C)}\]

其中 A^C 表示 A 的补集，即表示 A 不发生的情况。A^C 的另一种写法是：(\neg A)，同样表示非 A：

\[P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\neg A)P(B|\neg A)}\]

更一般化的写法：

\[P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j}P(A_j)P(B|A_j)}\]

例子

例如：假设一种病的患病率为 0.1%，一种设备检测这种病的准确率位 99%，那么如果设备检测出一个人患病的情况下，他实际患病的概率有多大？这个问题就可以写作：P(患病 | 报告患病)。