《十分钟智商运动》学习笔记

1.7 哥德巴赫猜想(1+1)

1+1 的含义是指一个质数加一个质数。18 世纪初德国数学家哥德巴赫到圣彼得堡任教,1742 年哥德巴赫给欧拉的一封信中提出一个猜想,用现代语言表述即:

任何一个大于 2 的偶数,都能写成 2 个质数之和。

欧拉没能证明哥德巴赫猜想,陈景润 1973 年证明了 1+2,也就是一个偶数 x 可以分解为 x = a+bx = a+bc 的形式,其中 a, b, c 都是质数。

1.13 彩票与概率

3D 球

3D 球也叫排列三,玩法:2 元一注,从 000-999 中选择一个三位数,开奖时出一个三位数,如果两个数字相等则中奖 1040 元。

3D 球的中奖概率:1/1000,其数学期望:

$$E = 1040 \times 1/1000 + 0 \times 999/1000 = 1.04$$

即花 2 元下注,平均拿回 1.04 元,亏 0.96 元。

组选六

3D 球的另一个玩法叫组选六:开奖的三个数字与下注的三个数字相同即中奖 173 元,不限次序。例如开奖 052,那么下注为 502, 250 等都中奖。

组选六的中奖概率:(3 × 2 × 1)/1000 — abc 三个数字排列不限顺序一共有 6 种,其数学期望:

$$E = 173 \times 6/1000 + 0 \times 994/1000 = 1.038$$

即花 2 元下注,平均拿回 1.038 元,比 3D 球还亏得多些。这里有个概念叫 全排列

$$A_{n}^{n} = n \times (n-1) \times (n-2) \dots \times 1$$

1.14 条件概率

假设一种病的患病概率为 1/7000,有一种设备可以检测出这种病,但有 1/10000 的可能误诊。如果设备检测报告说患病,那么真正的患病概率是多少?

患病概率为 1/7000,因此健康概率为 6999/7000;设备的误诊率为 1/10000,因此其正确概率为 9999/10000。可以画出如下表格:

实际患病实际健康
报告患病1/7000 × 9999/100006999/7000 × 1/10000
报告健康1/7000 × 1/10000 6999/7000 × 9999/10000

因此报告患病且实际患病的概率为:

$$\frac{(1/7000 \times 9999/10000)}{(1/7000 \times 9999/10000 + 6999/7000 \times 1/10000)} = 58.8\%$$

在这种情况下,去另一家医院用同样的设备检测,如果还是报告患病,那么实际患病概率是多少?

此时患病概率从 1/7000 变成了 条件概率 58.8% 患病,41.2% 健康。在这个条件概率下,重新画出表格:

实际患病实际健康
报告患病58.8% × 9999/1000041.2% × 1/10000
报告健康58.8% × 1/10000 41.2% × 9999/10000

因此报告患病且实际患病的概率为:

$$\frac{(58.8\% \times 9999/10000)}{(58.8\% \times 9999/10000 + 41.2\% \times 1/10000)} = 99.99\%$$

肇事的出租车

以上数字较大,我们稍微简化一下看另一个类似的问题:

一辆出租车在雨夜肇事,现场有一个目击证人说,看见该车是蓝色。已知:1、该目击证人识别蓝色和绿色出租车的准确率是 80%;2、该地的出租车 85% 是绿色的,15% 是蓝色的。请问:那辆肇事出租车是蓝色的概率有多大?

首先画一个表格,只列出车辆的颜色概率

蓝车绿车
-15% 85%
-15% 85%

目击者的识别准确率为 80%,因此有 20% 的误判,补充完整上表:

蓝车绿车
目击为蓝车15% × 80% 85% × 20%
目击为绿车15% × 20% 85% × 80%

目击为蓝车的概率(第一行的两列相加):15% × 80% + 85% × 20%

目击为蓝车且实际为蓝车的概率:(15% × 80%)/(15% × 80% + 85% × 20%) = 41.38%

在目击者 80% 的准确率这个 条件概率 的前提下,肇事车辆更可能是绿车。假设目击者的准确度有 95% 呢?那么目击为蓝车且实际为蓝车的概率为:(15% × 95%)/(15% × 95% + 85% × 5%) = 77%

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