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现值、终值与年金

现值公式:

=PV(rate, nper, pmt, fv, [type])

现值/终值公式

\[F = P \times (1+r)^n\] \[P = \frac{F}{(1+r)^n}\]

终值/年金公式

\[F = A \times \frac{(1+r)^n - 1}{r}\]

现值/年金公式

\[P = A \times \frac{1 - \frac{1}{(1+r)^n}}{r}\]

如果某日你中彩票大奖,现在有两种领奖方式:a. 一次性获得 300 万;b. 每个月获得 3 万并可以领 50 年。你愿意选哪一个呢?

计算:由现值/年金公式:带入 P=300, A=3, n=600,在 WolframAlpha 输入:

300 = 3 * (1-1/(1+r)^600)/r

可以计算出 r = 0.009974,则年利率为:0.009974 x 12 = 0.119688 ≈ 12%。即如果选 a. 一次性领取 300 万,需要实现年化 12% 的收益才能与选择 b. 每月 3 万领取 50 年相当。我们也可以用现值公式验证:年化 12%(月利率为 1%),在 Excel 中带入现值公式:

=PV(1%, 600, -3) = 299.32

假设只有 10% 的年化收益(月利率为 0.8%),那么根据现值公式可以算出选择 b. 的现值为:

=PV(0.8%, 600, -3) = 371.85

IRR 公式

\[NPV = \sum_{t=1}^{T}\frac{C_t}{(1+r)^t} - C_0\]

IRR 是 NPV(净现值)为 0 时的折现率(discount rate)。